3-D Laplace Equation And Spherical Harmonic Function

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3-D Laplace Equation

三维拉普拉斯方程方程可记成多种形式:

\begin{aligned} Δ u & = \nabla^{2} u = \nabla \cdot \nabla u = 0 \\ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} φ} \end{aligned}

分离变量 $u (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ)$ , 得到

\frac{1}{R} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d R}{d r}) = - \frac{1}{Y} (\frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial Y}{\partial θ}) - \frac{1}{\sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} Y}{\partial ϕ^{2}}) = λ

1. 径向衰减

常常选取 $λ = l (l + 1)$ , 于是

\frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d R}{d r}) - l (l + 1) R = 0

这是欧拉方程, 根据换元 $r = e^{s}$ 得到它的通解是

R (r) = A r^{l} + B r^{- (l + 1)}, l \geq 0

通常情况下, 场不会传播到无穷远处, 也就是在解 $R (r)$ 的定义域包含 $r = \infty$ 时因为 $r^{l} \to \infty$ , 通常取 $A = 0$ . 同理, 在解的定义域包含 $r = 0$ 时, 通常取 $B = 0$ .

2. 球面谐波

由上述已知

\frac{1}{\sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial Y}{\partial θ}) - \frac{1}{\sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} Y}{\partial ϕ^{2}} + l (l + 1) Y = 0

进一步分离变量 $Y (θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ)$ , 有

\begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{d^{2} Φ}{d^{2} φ} + m^{2} Φ = 0 \\ Φ (φ) = Φ (φ + 2 π) \end{cases} a n d \begin{array}{l} \sin θ \frac{d}{d θ} (\sin θ \frac{d Θ}{d θ}) + [(l + 1) l \sin^{2} θ - m^{2}] Θ = 0 \end{array} \end{array}

第一个方程没什么好说的, 解是 $Φ_{m} (φ) = e^{i m φ}$ , 对第二个方程做和数理课上一样的换元 $θ = \arccos x$ , 得到

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} Θ}{d x^{2}} - 2 x \frac{d Θ}{d x} + [l (l + 1) - \frac{m^{2}}{1 - x^{2}}] Θ = 0 \dots \dots (1)

被称为连带勒让德方程, 特别的当 $m = 0$ 时变成勒让德方程, 他的解就是勒让德函数 $P_{l} (x)$ .

做换元 $y (x) = Θ (x) (1 - x^{2})^{- \frac{m}{2}}$ , 可得到

\begin{matrix} Θ = (1 - x^{2})^{\frac{m}{2}} y \\ Θ^{'} = {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2}} y^{'} - m {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2} - 1} x y \\ Θ^{″} = {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2}} y^{''} - 2 m {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2} - 1} x y^{'} - m {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2} - 1} y + m (m - 2) {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2} - 2} x^{2} y \\ ⇓ \\ (1 - x^{2}) y^{''} - 2 (m + 1) x y^{'} + [l (l + 1) - m (m + 1)] y = 0 \dots \dots (2) \end{matrix}

将上式与与下面的勒让德方程(式 $(1)$ )做比较, 注意下面的方程还没有做 $y (x) = Θ (x) (1 - x^{2})^{- \frac{m}{2}}$ 的换元.

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} P_{l}}{d x^{2}} - 2 x \frac{d P_{l}}{d x} + l (l + 1) P_{l} = 0

对它求导 $m$ 次, 记 $P^{(m)}$ 表示对 $P$ 求 $m$ 次导, 注意到 $P_{l} (x)$ 是 $l$ 阶多项式, 可以得到

\begin{aligned} 0 & = [(1 - x^{2}) P_{l}^{(m + 2)} - 2 m x P_{l}^{(m + 1)} - m (m - 1) P_{l}^{(m)}] - 2 [x P_{l}^{(m + 1)} + m P_{l}^{(m)}] + l (l + 1) P_{l}^{(m)} \\ = (1 - x^{2}) P_{l}^{(m + 2)} - 2 (m + 1) x P_{l}^{(m + 1)} + [l (l + 1) - m (m + 1)] P_{l}^{(m)} \end{aligned}

恰好和 $(2)$ 式形式一致, 也就是说如果将方程 $(1 - x^{2}) \frac{d^{2} Θ}{d x^{2}} - 2 x \frac{d Θ}{d x} + [l (l + 1) - \frac{m^{2}}{1 - x^{2}}] Θ = 0$ 的解记为连带勒让德函数 $P_{l}^{m} (x)$ , 那么

P_{l}^{m} (x) = (1 - x^{2})^{\frac{m}{2}} \frac{d^{m}}{d x^{m}} P_{l} (x), | m | \leq l

最后的球谐函数就是

Y_{l}^{m} (θ, φ) = P_{l}^{m} (\cos θ) Φ_{m} (φ)

如果要归一化 $Y$ , 也就是令 $\int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} Y_{l}^{m} (θ, φ) \sin θ d θ = 1$ , 可以得到归一化的球谐函数:

Y_{l}^{m} (θ, φ) = \sqrt{\frac{1}{2 π} \frac{2 l + 1}{2} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m φ}

于是通解表示为

u (r, θ, φ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} (A r^{l} + B r^{- (l + 1)}) \sqrt{\frac{1}{2 π} \frac{2 l + 1}{2} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m φ}

另外, 连带勒让德函数的前几项为:

\begin{aligned} P_{0}^{0} (x) & = 1, \\ P_{1}^{0} (x) & = x, P_{1}^{1} (x) = - \sqrt{1 - x^{2}}, \\ P_{2}^{0} (x) & = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1), P_{2}^{1} (x) = - 3 x \sqrt{1 - x^{2}}, P_{2}^{2} (x) = 3 (1 - x^{2}), \\ P_{3}^{0} (x) & = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x), P_{3}^{1} (x) = - \frac{3}{2} (5 x^{2} - 1) \sqrt{1 - x^{2}}, P_{3}^{2} (x) = 15 x (1 - x^{2}), P_{3}^{3} (x) = - 15 (1 - x^{2})^{3 / 2} . \end{aligned}

2.1 $Y_{1}^{m}$ 和偶极场

在静磁学中, 如果场点不存在电流, 那么磁感应强度可以表示成磁标势的梯度 $\vec{B} = - \nabla Φ_{m}$ , 并且 $\nabla^{2} Φ_{m} = 0$ .

归一化球谐函数中, $Y_{1}^{0} (θ) = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \cos θ \propto \cos θ = \frac{z}{r}$ , $R_{1} (r) = A r + \frac{B}{r^{2}} = \frac{B}{r^{2}}$ (取 $A = 0$ ). 于是 $Φ_{m}$ 的一个解可以写作

Φ_{p o l e} (r, θ, φ) = \frac{C}{r^{2}} \cos θ

求梯度得到

\vec{B} = - (\partial_{r} Φ_{p o l e}, \frac{1}{r} \partial_{θ} Φ_{p o l e}, 0) = C \cdot (\frac{2 \cos θ}{r^{3}}, \frac{\sin θ}{r^{3}}, 0)

回忆课上所学到的磁偶极子在远处的磁场表达式:

\vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{3 (\vec{n} \cdot \vec{m}) \vec{n} - \vec{m}}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{3 \cos θ {\vec{e}}_{r} - {\vec{e}}_{z}}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{3 \cos θ {\vec{e}}_{r} - (\cos θ {\vec{e}}_{r} - \sin θ {\vec{e}}_{θ})}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 \cos θ {\vec{e}}_{r} + \sin θ {\vec{e}}_{θ}}{r^{3}}

发现两式形式一致, 只要取 $C = \frac{μ_{0}}{4 π}$ , 就可以用球谐函数描述偶极磁场.

另外, 由于 $Y_{1}^{\pm 1}$ 是虚数, 所以选取它们的实数线性组合 $Y_{1}^{x} = \frac{Y_{1}^{1} + Y_{1}^{- 1}}{\sqrt{2}}$ 和 $Y_{1}^{y} = \frac{Y_{1}^{1} - Y_{1}^{- 1}}{i \sqrt{2}}$ , 显然 $Y_{1}^{x} \propto \sin θ \cos φ = \frac{x}{r}$ , $Y_{1}^{y} \propto \sin θ \sin φ = \frac{y}{r}$ . 对于三维旋转, 考察球坐标的变换, 比如绕 $y$ 轴旋转矩阵, 直角坐标系中的变换矩阵是

R_{y} (β) = (\begin{matrix} \cos β & 0 & \sin β \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin β & 0 & \cos β \end{matrix})

即:

\begin{aligned} θ^{'} & = \arccos (\frac{z^{'}}{r}) = \arccos (\frac{- x \sin β + z \cos β}{r}) \\ = \arccos (- \sin θ \cos φ \sin β + \cos θ \cos β) \end{aligned}

\begin{aligned} φ^{'} & = \arctan 2 (y^{'}, x^{'}) = \arctan 2 (y, x \cos β + z \sin β) \\ = \arctan 2 (\sin θ \sin φ, \sin θ \cos φ \cos β + \cos θ \sin β) \end{aligned}

如果取 $β = \frac{π}{2}$ , 就有

\begin{array}{r} θ^{'} = \arccos (- \sin θ \cos φ) \end{array}

\begin{array}{r} φ^{'} = \arctan (\frac{\sin θ \sin φ}{\cos θ}) \end{array}

也就是说

\begin{aligned} Y_{1}^{x} (θ^{'}, φ^{'}) \propto \sin θ^{'} \cos φ^{'} & = \sin (\arccos (- \sin θ \cos φ)) \cdot \cos (\arctan (\frac{\sin θ \sin φ}{\cos θ})) \\ = \sqrt{1 - (\sin θ \cos φ)^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{\sin θ \sin φ}{\cos θ})}^{2}}} \\ = \sqrt{1 - (\sin θ \cos φ)^{2}} \cdot \frac{\cos θ}{\sqrt{\cos^{2} θ + {(\sin θ \sin φ)}^{2}}} \\ = \cos θ \\ \propto Y_{1}^{0} (θ) \end{aligned}

因此, $Y_{1}^{x}$ 描述沿 $x$ 轴方向的磁偶极子, 类似的知道 $Y_{1}^{y}$ 描述沿 $y$ 轴方向的磁偶极子. 在量子力学里面(量C不讲这个东西), 上面的旋转操作可以用 $W i n g e r - D$ 矩阵作用于球谐函数得到, 这个矩阵的数值形状很丑, 可以在在 $M M A$ ( $M a t h e m a t i c a$ )中直接调用 $W i n g e r - D$ 函数快速完成.

2.2 $Y_{2}^{m}$ 和四极场

同理, 对于归一化球谐函数 $Y_{2}^{0} (θ) = \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} θ - 1)$ , 磁标势 $Φ_{quad} (r, θ) = R \cdot g_{2}^{0} {(\frac{R}{r})}^{3} \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} θ - 1)$ , $g_{2}^{0}$ 为常数, 计算得到

\begin{matrix} B_{r} = - \frac{\partial Φ}{\partial r} = 3 g_{2}^{0} (\frac{R^{4}}{r^{4}}) \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} θ - 1) \\ B_{θ} = - \frac{1}{r} \frac{\partial Φ}{\partial θ} = 3 g_{2}^{0} (\frac{R^{4}}{r^{4}}) \sqrt{\frac{5}{16 π}} \sin 2 θ \\ B_{φ} = 0 \end{matrix}

关于球谐系数 $g_{l}^{m}$ 的具体拟合值, 可在第 $14$ 版国际参考地磁场(IGRF)的官方文件中查阅. 对于 $m \neq 0$ 的球谐函数, 同样选取他们的实数线性组合, 可以得到他们表示的四极场只是 $Y_{2}^{0} (θ)$ 的旋转, 但是形式更加复杂.

3. 球谐系数

现在需要确定系数 $B_{l m}$ , 假设 $A = 0$ , 通解写成:

u (r, θ, φ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} \frac{B_{l m}}{r^{l + 1}} Y_{l}^{m} (θ, φ)

其中 $Y_{l}^{m} (θ, φ) = \sqrt{\frac{(2 l + 1)}{4 π} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_{l}^{m} (\cos θ) e^{i m φ}$ , 它是正交归一化的:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} Y_{l}^{m} (θ, φ) Y_{l^{'}}^{m^{'} *} (θ, φ) \sin θ d θ d φ = δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}}

将通解两边乘以 $Y_{l^{'}}^{m^{'} *} (θ, φ)$ , 然后积分:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} u (r, θ, φ) Y_{l^{'}}^{m^{'} *} (θ, φ) \sin θ d θ d φ = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} \frac{B_{l m}}{r^{l + 1}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} Y_{l}^{m} (θ, φ) Y_{l^{'}}^{m^{'} *} (θ, φ) \sin θ d θ d φ

利用正交归一关系, 右边只剩下 $l = l^{'}$ 且 $m = m^{'}$ 时的项：

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} u (r, θ, φ) Y_{l^{'}}^{m^{'} *} (θ, φ) \sin θ d θ d φ = \frac{B_{l^{'} m^{'}}}{r^{l^{'} + 1}}

从而可解出:

B_{l^{'} m^{'}} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} u (r, θ, φ) Y_{l^{'}}^{m^{'} *} (θ, φ) \sin θ d θ d φ